Bölüm 6
Doğrusal Eşitleme
Random Grup, Tek Grup ve Dengelenmiş Tek Grup Deseni
Doğrusal eşitleme, eşitleme desenlerine göre bazı farklılıklar gösterir. Random gruplar, tek grup ve dengelenmiş tek grup desenleriyle yapılan doğrusal eşitlemeler birbirine benzer özellikler göstermektedir. Bu bölümde, önce bu üç desenle yapılan doğrusal eşitlemeler açıklanmıştır. Denk olmayan gruplarda ortak madde deseninde önemli farklılıklar bulunduğundan bu kısım ayrı başlık altında verilmiştir.
Doğrusal eşitlemede, iki formdaki puanlar arasındaki farklar sabit değildir. Test formlarının güçlükleri arasındaki farklılık puan düzeylerine göre değişiklik gösterir.
Doğrusal eşitlemede iki formun ortalamaları ve standart sapmaları dikkate alınır. Puanların doğrusal dönüşümü iki formdaki standart puanlar (z puanı) eşit olacak şekilde yapılır (Kolen & Brennan, 2014).
\[\frac{{x - \bar{X}}}{{s_X}} = \frac{{y - \bar{Y}}}{{s_Y}} \quad(6.1)\]
\(\bar{X}\): X formu puanlarının aritmetik ortalaması
\(\bar{Y}\): Y formu puanlarının aritmetik ortalaması
\(s_X\): X formu puanlarının standart sapması
\(s_Y\): Y formu puanlarının standart sapması
Eğer iki formun standart sapması eşitse doğrusal eşitleme ortalama eşitlemeye dönüşür. Eşitlik (6.1), \(y(x)\) puanları için yeniden yazılırsa Eşitlik (6.2) elde edilir.
\[y(x) = \frac{s_Y}{s_X} x + \left( \bar{Y} - \frac{s_Y}{s_X} \bar{X} \right)\quad(6.2)\] Eşitlik (6.2), eğimi \(\frac{s_Y}{s_X} x\) ve kesme noktası \(\bar{Y} - \frac{s_Y}{s_X} \bar{X}\) olan bir doğru denklemidir.
Örneğin, X formunun ortalaması 14, standart sapması 2,4 ve Y formunun ortalaması 13, standart sapması 2,2 olduğunda doğrusal eşitleme fonksiyonunun denklemi
\[y(x) = \frac{2,2}{2,4} x + ({13} - \frac{2,2}{2,4}{14} )\]
olur. Eşitleme fonksiyonu, eğimi \(\frac{2,2}{2,4} = 0,92\); kesme noktası \(13-0,92(14)=0,12\) olan bir doğru denklemidir. Doğrusal eşitleme fonksiyonu
\[y(x)= 0,92x+0,12\] olarak yazılır.
X formundaki 18 puanın \(y(x)\)’e dönüşümü
\(y(x)= 0,92*18+0,12\)
\(y(x)= 16,68\) olur.
X formundaki 10 puanın \(y(x)\)’e dönüşümü
\(y(x)= 0,92*10+0,12\)
\(y(x)= 9,32\) olur.
Örneklerde görüldüğü gibi, doğrusal eşitlemede X formundaki puan ile dönüştürülmüş puan \(y(x)\) arasındaki farklar eşit olmamıştır. Test formlarının zorlukları arasındaki fark, puan düzeylerine göre değişmiştir. 18 puan ile \(y(x)\) puanı 16,68 arasındaki fark 1,32 puan iken, 10 puan ile dönüştürülmüş puan 9,32 arasındaki fark 0,68 puandır.
Doğrusal eşitleme fonksiyonu da Y’den X’e dönüştürülen puanlar için yazıldığında, simetrikliğin korunduğu görülür.
\[x(y) = \frac{s_X}{s_Y} y + \left( \bar{X} - \frac{s_X}{s_Y} \bar{Y} \right)\]
Yukarıda ortalamaları ve standart sapmaları verilen X ve Y formları için eşitleme denklemi \(x(y)=1,09y-0,18\) olur.
X formundaki 18 puanın Y’ye dönüşümü 16,68 bulunmuştu.
\(y(x)=16,68\) için
\(x(y)=1,09(16,68)-0,18=18,00\) elde edilir.
Doğrusal eşitleme denklemi regresyon eşitliğine benzer ama regresyon denkleminde yer alan X ve Y değişkenleri arasındaki korelasyon burada yer almaz. Korelasyon 1 olmadığı sürece X’in Y üzerindeki regresyonu, Y’nin X üzerindeki regresyonuna eşit olmaz. Regresyon denklemi simetrikliği sağlamadığı için eşitlemede kullanılmaz.
Yorgunluk, sıra etkisi gibi etkiler yoksa tek grup deseninde doğrusal eşitleme, random grup eşitleme ile aynı şekilde Eşitlik (6.2) ile yapılır. Dengelenmiş tek grup deseninde ise dört farklı eşitleme fonksiyonu elde edilir:
- Grup1 ve Grup2’de X ve Y formunu birinci sırada alanların puanları random grup eşitleme deseniyle eşitlenir.
- Grup1 ve Grup2’de X ve Y formunu ikinci sırada alanların puanları random grup eşitleme deseniyle eşitlenir.
- Birinci sırada X formunu, ikinci sırada Y formunu alan Grup1’in puanları tek grup deseniyle eşitlenir.
- Birinci sırada Y formunu, ikinci sırada X formunu alan Grup2’nin puanları tek grup deseniyle eşitlenir.
Birinci eşitlemeyle ikinci eşitlemenin standart hataları karşılaştırılır. Standart hataların (örnekleme hatası dışında) farklı olması, X ve Y testlerinin ikinci sırada uygulanmasının eşitlemeyi etkilediğini gösterir. Bu durumda formların birinci sırada uygulanmasından elde edilen denklem kullanılmalıdır çünkü birinci eşitleme random grup desenindedir ve sıra etkisi yoktur.
Birinci eşitlemeyle ikinci eşitlemenin standart hataları arasında örnekleme dışında fark olmaması testlerin sıra etkisinin olmadığını gösterir ve bu durumda eşitlemede tüm veriler kullanılabilir. X testinin iki uygulaması ve Y testinin iki uygulamasının verileri birleştirilerek eşitleme yapılabilir (Kolen & Brennan, 2014).
Random gruplardan elde edilen 20 maddelik bir testin, X formunun ortalama ve doğrusal eşitleme ile Y formuna eşitlenmiş puanları Tablo 6.1 ’de yer almaktadır. Testlerin ortalamalar, standart sapmaları ve eşitleme yöntemlerinin denklemleri tablonun altıda yer almaktadır.
Y formunun aritmetik ortalaması X formundan 1,2 puan yüksek olduğundan, ortalama eşitleme sonucu X puanlarına 1,2 puan eklenmiştir. Formların standart sapmaları farklı olduğundan, doğrusal eşitlemede X puanlarıyla y(x) puanları arasındaki farklar sabit değildir. Her iki eşitleme sonucunda puan ranjının dışına çıkıldığı görülmektedir.
Şekil 6.1’de eşitlenmiş puanlar özdeş (identity) eşitleme eğrisi ile birlikte verilmiştir. Özdeş eşitlemede X formu puanlarının Y’de değişmediği kabul edilir. Örneğin X’teki 20 puanın Y formundaki karşılığı da 20’dir.
Şekil 6.1’de ortalama eşitleme çizgisinin özdeş eşitlemeye paralel olarak ilerlediği görülmektedir. Doğrusal eşitleme çizgisi ise düşük puanlarda ortalama eşitlemeden daha büyük bir farkla özdeş eşitleme çizgisinin üzerindedir. Doğrusal eşitleme, giderek özdeş eşitlemeye yaklaşmıştır. Yine grafikten yüksek puanlarda, puan ranjının dışına çıkıldığı görülmektedir.
Denk Olmayan Gruplarda Doğrusal Eşitleme
Denk olmayan gruplar deseninde farklı evrenden gelen iki gruba ortak maddeleri bulunan iki farklı test formu uygulanır. Ortak maddeler X ve Y formlarındaki farklılıkları ayarlamak için kullanılır ve ortak maddelerden alınan puanlar X ve Y formlarına dahil edilirse iç ortak test, dahil edilmezse dış ortak test adını alır. Ortak testlerin içerik ve istatistiksel özellikler bakımından X ve Y formlarını temsil etmesi gerekir.
Tucker Yöntemi
Denk olmayan gruplarda ortak test deseninde iki evren vardır ancak eşitleme denklemleri tek bir evren için tasarlanmıştır (Kolen & Brennan, 2014). Bu nedenle tek bir eşitleme denklemi elde etmek için iki evren Braun ve Holland (1982) tarafından birleştirilerek yapay evren (synthetic population) olarak adlandırılmıştır. Yapay evren, Evren1 ve Evren2 için \(w1+w2=1\) ve \(w1, w2 ≥0\) olacak şekilde \(w\) ile ağırlıklandırılmıştır. Ağırlıklar çeşitli şekillerde belirlenebilir. \(w1=1, w2=0\) olabilir. Bu durumda yapay evren, yeni formun (X formu) evrenidir (Gulliksen, 1950). Angoff (1971), yapay evrenin örneklem büyüklükleri dikkate alınarak ağırlıklandırılabileceğini belirtmiştir. Angoff, N1 Evren1’in, N2 Evren2’nin örneklem büyüklüğünü göstermek üzere ağırlıkları \(w1=N1/(N1+N2)\) ve \(w2=N2/(N1+N2)\) olarak belirlemiştir. Araştırmacının, Evren1 ve Evren2’nin eşit ağırlıkta olduğuna ilişkin bir öngörüsü varsa ağırlıklar eşit olarak belirlenebilir (\(w1=0,5\) ve \(w2=0,5\)).
Yapay evren için tanımlanan doğrusal eşitleme denklemi Eşitlik (6.3)’te verilmiştir.
\[y_s(x) = \frac{\sigma_s(Y)}{\sigma_s(X)} [x - \mu_s(X)] + \mu_s(Y) \quad(6.3)\]
s yapay evreni göstermektedir. Eşitlik (6.3)’te \(μ_s (X)\), \(μ_s (Y)\), \(σ_s (X)\) ve \(σ_s (Y)\) olmak üzere dört tane yapay evren parametresi bulunmaktadır.
\[\mu_s(X) = w_1 \mu_1(X) + w_2 \mu_2(X) \quad(6.4)\]
\[\mu_s(Y) = w_1 \mu_1(Y) + w_2 \mu_2(Y) \quad(6.5)\]
\[\sigma_s^2(X) = w_1 \sigma_1^2(X) + w_2 \sigma_2^2(X) + w_1 w_2 [\mu_1(X) - \mu_2(X)]^2 \quad(6.6)\]
\[\sigma_s^2(Y) = w_1 \sigma_1^2(Y) + w_2 \sigma_2^2(Y) + w_1 w_2 [\mu_1(Y) - \mu_2(Y)]^2 \quad(6.7)\]
Denk olmayan gruplarda ortak test deseninde X testi Evren2’ye, Y testi de Evren1’e uygulanmaz. Bu nedenle Eşitlik (6.4)-(6.7)’deki \(μ_2 (X), μ_1 (Y), σ_2^2 (X)\) ve \(σ_1^2 (Y)\) parametreleri doğrudan kestirilemez.
Tucker yöntemi, Ledyard Tucker’in yayımlanmamış bir makalesine dayandırılarak Gulliksen (1950) tarafından tanıtılmıştır. Bu yöntemde Eşitlik (6.4)-(6.7)’de yer alan ve doğrudan kestirilemeyen dört parametre, regresyon ve koşullu varyans varsayımları ile kestirilir. Bu bölüm Kolen ve Brennan (2014) (s.105-108)’dan özetlenmiştir.
Tucker yönteminde Eşitlik (6.4)-(6.7)’de yer alan dört yapay evren parametresini kestirmek için iki grup varsayım vardır. Birinci grup varsayım toplam test puanlarının ortak test puanları üzerindeki regresyonu ile ilgilidir. İkincisi ise ortak test puanlarına göre toplam puanların koşullu varyanslarına ilişkin varsayımlardır.
Regresyon varsayımları
X’in ortak test V üzerindeki regresyonunun Evren1 ve Evren2 için aynı olduğu varsayılır. Benzer bir varsayım Y’nin V üzerindeki regresyonu için yapılır. \(\alpha\) regresyon doğrusunun eğimini, \(\beta\) kesme noktasını göstermek üzere bu katsayıların Evren1 ve Evren2 için eşit olduğu kabul edilir.
\[\alpha_2(X|V) = \alpha_1(X|V)\]
\[\beta_2(X|V) = \beta_1(X|V)\] \[\alpha_1(Y|V) = \alpha_2(Y|V)\]
\[\beta_1(Y|V) = \beta_2(Y|V)\]
Yukarıdaki dört eşitliğin sol tarafındaki katsayılar doğrudan gözlenemez, bu katsayıların gözlenebilen eğim ve kesme noktalarına eşit olduğu kabul edilmiştir.
Koşullu varyans varsayımları
X’in V koşullu varyansının Evren1 ve Evren2 için eşit olduğu kabul edilir. Yani, ortak testten belli bir V puanı alanların toplam test puanları (X) varyansının iki evrende aynı olduğu varsayımı vardır. Aynı şekilde, Y’nin V koşullu varyansının da Evren1 ve Evren2 için eşit olduğu varsayılır. Bu varsayımlar regresyon varsayımlarıyla birleştirilerek Evren2 için X puanlarının, Evren1 için Y puanlarının varyans kestirimleri yapılır.
\[\sigma_2^2(X) = \sigma_1^2(X) - \alpha_1^2(X|V) [\sigma_1^2(V) - \sigma_2^2(V)]\quad(6.8)\]
\[\sigma_1^2(Y) = \sigma_2^2(Y) - \alpha_2^2(Y|V)[\sigma_1^2(V) - \sigma_2^2(V)]\quad(6.9)\]
Eşitlik (6.10)-(6.13)’deki denklemlerden yapay evrenin parametreleri elde edilir.
\[\mu_s(X) = \mu_1(X) - w_2 \gamma_1 [\mu_1(V) - \mu_2(V)] \quad(6.10)\]
\[\mu_s(Y) = \mu_2(Y) + w_1 \gamma_2 [\mu_1(V) - \mu_2(V)] \quad(6.11)\]
\[\sigma_s^2(X) = \sigma_1^2(X) - w_2 \gamma_1^2 [\sigma_1^2(V) - \sigma_2^2(V)] + w_1 w_2 \gamma_1^2 [\mu_1(V) - \mu_2(V)]^2 \quad(6.12)\]
\[\sigma_s^2(Y) = \sigma_2^2(Y) - w_1 \gamma_2^2 [\sigma_1^2(V) - \sigma_2^2(V)] + w_1 w_2 \gamma_2^2 [\mu_1(V) - \mu_2(V)]^2 \quad(6.13)\]
\(\gamma_1=\alpha_1(X|V)\)
\(\gamma_2=\alpha_2(X|V)\)
Böylece Eşitlik (6-.4)-(6.7)’deki denklemlerin sağ tarafındaki değerler verilerden hesaplanabilir. Bu eşitlikler iç ortak ve dış ortak testler için kullanılabilir.
Levine Yöntemi
Levine (1955), X ve Y formlarının güvenirlikleri eşit olduğunda gözlenen puanların, güvenirlikler eşit olmadığında ise gerçek puanların eşitlendiğini belirterek gözlenen puan ve gerçek puan eşitleme yöntemlerini geliştirmiştir. Levine’in gözlenen puan yönteminin üç varsayımı bulunmaktadır:
1. Korelasyonel varsayımlar
X, Y ve V formları aynı özelliği ölçmektedir. Bundan V formunun gerçek puanları (T) ile X ve Y formların gerçek puanları (T) arasındaki korelasyonlar Grup1 ve Ggup2 için eşittir ve 1’dir.
\[\rho_1(T_X,T_V)=\rho_1(T_X,T_V)=1\] \[\rho_1(T_Y,T_V)=\rho_1(T_Y,T_V)=1\]
- Doğrusal regresyon varsayımları
\(T_X\)’in \(T_V\) üzerindeki regresyonunun Grup1 ve Grup2 için eşit olduğu kabul edilir. Aynı varsayım \(T_Y\)’nin \(T_V\) üzerindeki regresyonu için de geçerlidir. \(T_X\), \(T_V\) ve \(T_Y\), \(T_V\) arasındaki korelasyon 1 olduğundan Grup1 ve Grup2 için regresyon doğrularının eğimi eşit olur. \[\alpha_1(T_X|T_V)=\frac{\sigma_1 (T_X)}{\sigma_1 (T_V)}\] \[\alpha_2(T_Y|T_v)=\frac{\sigma_2 (T_Y)}{\sigma_2 (T_V)}\] \(T_X\)’in \(T_V\) üzerindeki eşit gerçek puan regresyonunun sonucu olarak aşağıdaki eşitlikler yazılır.
\[\frac{\sigma_2 (T_X)}{\sigma_2 (T_V)}=\frac{\sigma_1 (T_X)}{\sigma_ (T_V)}\] \[\frac{\sigma_1 (T_Y)}{\sigma_1 (T_V)}=\frac{\sigma_2 (T_Y)}{\sigma_2 (T_V)}\] 3. Eşit varyans varsayımları
Levine yöntemi, X, Y ve V’nin hata varyanslarının Evren 1 ve Evren2 için aynı olduğunu varsayar. Gerçek puan ve hata puanları arasında korelasyon olmadığından, her test için hata varyansları gözlenen puan ve gerçek puan varyansları arasındaki farktır.
\[\sigma_{2}^{2}(X) - \sigma_{2}^{2}(Tx) = \sigma_{1}^{2}(X) - \sigma_{1}^{2}(Tx)\] \[\sigma_{1}^{2}(Y) - \sigma_{1}^{2}(Ty) = \sigma_{2}^{2}(Y) - \sigma_{2}^{2}(Ty)\] \[\sigma_{1}^{2}(V) - \sigma_{1}^{2}(Tv) = \sigma_{2}^{2}(V) - \sigma_{2}^{2}(Tv)\]
Varsayımlara dayalı olarak kestirilen parametreler
\[\mu_2(X) = \mu_1(X) - \frac{\sigma_1^2(Tx)}{\sigma_1^2(Tv)}[\mu_1(V) - \mu_2(V)] \quad(6.14)\]
\[\mu_1(Y) = \mu_2(Y) - \frac{\sigma_2^2(Ty)}{\sigma_2^2(Tv)}[\mu_1(V) - \mu_2(V)] \quad(6.15)\]
\[\sigma_2^2(X) = \sigma_1^2(X) - \frac{\sigma_1^2(Tx)}{\sigma_1^2(Tv)}[\sigma_1^2(V) - \sigma_2^2(V)] \quad(6.16)\]
\[\sigma_1^2(Y) = \sigma_2^2(Y) - \frac{\sigma_2^2(Ty)}{\sigma_2^2(Tv)}[\sigma_1^2(V) - \sigma_2^2(V)] \quad(6.17)\]
\[\sigma_1(Tx) = \sigma_1(X) \sqrt{\rho_1(X,X')} \quad(6.18)\]
\[\alpha_1 = \gamma_1 = \frac{\sigma_1(X) \sqrt{\rho_1(X,X')}}{\sigma_1(V) \sqrt{\rho_1(V,V')}} \quad(6.19)\]
\[\alpha_2 = \gamma_2 = \frac{\sigma_2(Y) \sqrt{\rho_2(Y,Y')}}{\sigma_2(V) \sqrt{\rho_2(V,V')}} \quad(6.20)\]
Formüllerin türetilme yöntemleri farklı olmasına rağmen Levine’in gözlenen puan yöntemi (\(w_1 = \frac{N1}{(N1 + N2)}\) ve \(w_2 = \frac{N2}{(N1 + N2)}\) varsayımı altında), Angoff (1971) tarafından rapor edilenlerle aynıdır. Angoff yöntemi aşağıdaki bölümde açıklanmıştır.
Angoff Yöntemi
Angoff (1971), eşitleme desenlerini altı grupta sınıflandırmıştır. Desen IV olarak adlandırdığı denk olmayan gruplarda eşitleme yöntemini;
A. Grupların yetenek düzeylerinin çok farklı olmadığı temel doğrusal yöntem,
B. Grupların yetenek düzeyleri bakımından çok farklı olmadığı eğrisel yöntem,
C. Farklı yetenek gruplarında (1) eşit güvenirlikte ve (2) eşit güvenirlikte olmayan testler için doğrusal yöntem olmak üzere üç grupta toplamıştır.
Angoff yönteminde tüm grup (TG) için yapay evren oluşturmadan X ve Y formlarının aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları kestirilir. TG için kestirilen değerler Eşitlik (6.1)’de yerine konularak puan dönüşümü yapılır. Angoff (1971), Desen IV’teki A ve C kategorileri için çeşitli varsayımlarla tüm grup için aritmetik ortalama ve standart sapma elde etmiştir.
Grupların yetenek düzeylerinin çok farklı olmadığı yöntem:
Bu yöntemde üç temel varsayım vardır:
- X’in V üzerindeki regresyonunda kesme noktası TG ve Grup1 (G1) için eşittir.
\[\mu_{TG}(X) - \alpha_{XV_{TG}} \mu_{TG}(V) = \mu_{G1}(X) - \alpha_{XV_{TG}} \mu_{G1}(V)\]
- X’in V üzerindeki regresyonunda regresyon katsayısı TG ve G1 için eşittir.
\[\alpha_{XV_{TG}} = \alpha_{XV_{G1}}\] 3. X’in V’den kestirilen hata varyansı TG ve G1 için eşittir.
\[s^{2}_{X_{TG}} (1-r^{2}_{XV_{TG}}) = s^{2}_{X_{G1}} (1-r^{2}_{XV_{G1}})\]
Aynı varsayımlar Y testi için de yapılır. Y’nin V ile regresyonundaki kesme noktası ve eğimi TG ve G2 için eşittir. Y’nin V’den kestirilen hata varyansı da TG ve G2 için eşittir. Bu varsayımlara göre X ve Y formlarının tüm grup için kestirilen parametreleri şöyledir:
\[\mu_{TG}(X)=\mu_{G1}(X)+\alpha_{XZ_G1}[ \mu_{TG}(V)- \mu_{G1}(V)]\quad (6.21)\]
\[\mu_{TG}(Y)=\mu_{G1}(Y)+\alpha_{YZ_G1}[ \mu_{TG}(V)- \mu_{G1}(V)]\quad (6.22)\]
\[ \sigma^{2}_{TG}(X)= \sigma^{2}_{G1}(X)+ \alpha^{2}_{XV_G1}[\sigma^{2}_{TG}(V)- \sigma^{2}_{G1}(V)]\quad (6.23)\]
\[ \sigma^{2}_{TG}(Y)= \sigma^{2}_{G2}(Y)+ \alpha^{2}_{YV_G2}[\sigma^{2}_{TG}(V)- \sigma^{2}_{G2}(V)]\quad (6.24)\] \(A=\sigma^{2}_{TG} (Y)/\sigma^{2}_{TG} (Y)\) ve \(B= \mu_TG (Y)-A\mu_TG (X)\) olmak üzere, Eşitlik (6.2) \(Y=AX+B\) olarak yazılabilir.
Bu desendeki varsayımlar kolaylıkla karşılanamaz. X, Y ve V paralel olmadığı halde gruplar benzer olabilir. Bu durumda varsayımlar karşılanamaz. Gruplar benzer olmadığında X, Y ve V paralel olsa bile yine varsayımlar yerine gelmez.
Farklı yetenek gruplarında eşit güvenirlikte olan ve eşit güvenirlikte olmayan testler için doğrusal yöntem
Levine (1955), grupların yetenek düzeyleri arasındaki fark büyük olduğunda klasik kurama dayalı varsayımların geçerli olmayacağını belirtmiştir. V testi X ve Y formlarına paralel olduğunda X’in gerçek puanlarının V’nin gerçek puanları üzerinde TG için elde edilen (a) regresyon doğrusunun kesme noktası, (b) eğimi ve (c) X formunun hata varyansı G1 için elde edilen katsayılara eşittir. Bu üç varsayım Y formu için de geçerlidir. Bu varsayımlar altında eşit güvenirlikte olan testlerde tüm grup için kestirilen parametreler Eşitlik (6.21)-(6.24)’teki gibidir. Eşit güvenirlikte olmayan testler için bu eşitliklerde bazı düzenlemeler yapılmıştır. Y=AX+B denklemindeki A ve B katsayıları V formunun iç ve dış ortak test olmasına göre denklemler farklılaşmaktadır (Angoff, 1971).
V formu iç ortak test ise
\[A=\frac{\alpha_VX_{G1}}{\alpha_ VY_{G2}}\quad (6.25)\]
\[ B=\mu_{YG2}-A \mu_{XG1}+\frac{\mu_{VG1}-\mu_{VG2}}{\beta_{VYG2}}\quad (6.26)\] V formu dış ortak test ise
\[A=\frac{\alpha_{VYG2}r_{uu’G1}}{\alpha_{VXG1}r_{uu’G2}}\quad (6.27)\] \[B=\mu_{G2}(Y)-A\mu_{G1}(X)+\frac{\beta_{VYG2}}{r_{uu’G2}}[\mu_{G1}(V)- \mu_{G2}(V)]\quad (6.28)\]
olacak şekilde düzenleme yapılır.
Doğrusal eşitleme, ortalama eşitlemenin test formlarının varyanslarının eşit olduğu varsayımını ortadan kaldırmıştır. Bununla birlikte, doğrusal eşitlemede iki formun çarpıklık ve basıklık katsayılarının eşit olduğu sınırlaması bulunmaktadır. Doğrusal eşitleme fonksiyonları puan dağılımlarında bulunmayan puanları üretebilmektedir. Eşitleme sonucunda negatif puan ya da formlardan alınabilecek en yüksek puandan daha yüksek puanlar ortaya çıkabilmektedir (Finch & French, 2018). Bu durumda Y formundan alınabilecek en düşük puanın altında sonuç veren eşitlenmiş puanlar en küçük puana, alınabilecek en yüksek puandan daha fazla puanlar da Y formunun en yüksek puanına getirilir.
Denk olmayan gruplarda ortak maddelerle doğrusal eşitleme için 10 tane iç ortak maddesi olan 30 maddeli X ve Y formlarının eşitlenmesi örnek olarak verilmiştir. X, Y formları ve ortak testler VX ve VY’nin parametreleri Tablo 6.2’de yer almaktadır.
Tucker yöntemiyle eşitleme için Tablo 6.2’deki değerler Eşitlik (6.4)-(6.7)’de yerlerine konduğunda yapay evren parametreleri elde edilir \((w1=0,5; w2=0,5)\).
\(\mu_s (X)=17,65-0,5(2,23)[5,07-5,95]\)
\(\mu_s (X)=17,65-0,279\)
\(μ_s (X)=17,37\)
\(μ_s (Y)=15,06+0,5(0,67)[5,07-5,95]\)
\(μ_s (Y)= 15,06+0,295\)
\(μ_s (Y)=15,35\)
\(σ_s^2 (X)=14-(0,5)2,23^2 [4,29-3,31]+(0,5)(0,5)(2,23)^2 [5,07-5,95]^2\)
\(σ_s^2 (X)=14-2,44+0,96\)
\(σ_s^2 (X)=12,52\)
$σ_s^2 (Y)=12,5+(0,5)(0,67)^2 [4,29-3,31]+(0,5)(0,5)(0,67)^2 [5,07-5,95]^2 $
\(σ_s^2 (Y)=12,5+0,22+0,087\)
\(σ_s^2 (Y)=12,81\)
Sentetik evren için elde edilen parametreler Eşitlik (6.3)’te yerine konduğunda Tucker’in doğrusal eşitleme denklemi elde edilir.
\[y_s (x)=\frac{(12,81)}{(12,52)} (x-17,37)+15,35\]
Tablo 6.2’deki değerler Eşitlik (6.21)-(6.24)’te yerlerine konduğunda Angoff yöntemi için tüm grup parametreleri elde edilir.
\(μ_{TG} (X)=17,65+2,23[5,52-5,07]\)
\(μ_{TG} (X)=17,65+1\)
\(μ_{TG} (X)=18,65\)
$μ_{TG} (Y)=15,06+0,67[5,52-5,95] $
\(μ_{TG}(Y)= 15,06-0,288\)
\(μ_{TG} (Y)=14,77\)
\(σ_{TG}^{2} (X)=14+2,23^2 [3,94-4,29]\)
\(σ_{TG}^{2} (X)=14 -1,74\)
\(σ_{TG}^{2} (X)=12,26\)
\(σ_{TG}^{2} (Y)=12,5+0,67^2 [3,94-3,31]\)
\(σ_{TG}^{2} (Y)=12,5+0,282\)
\(σ_{TG}^{2} (Y)=12,78\)
Angoff yöntemi ile tüm grup için elde edilen değerlere göre doğrusal eşitleme denklemi aşağıdaki gibi olur:
\[y(x)=\frac{(12,78)}{(12,26)} (x-18,65)+14,77\]
Zincirleme Doğrusal Eşitleme
Denk olmayan gruplarda ortak test deseninde kullanılan eşitleme yöntemlerinden biri de zincirleme eşitlemedir. Bu yöntem ilk olarak Angoff (1971) tarafından tanıtılmış, daha sonra Holland ve Dorans (2006) ve Kolen ve Brennan (2014) tarafından da tartışılmıştır. Zincirleme eşitleme üç aşamada gerçekleşir.
1. P evrenine uygulanan V testi puanları X’in puanlarına eşitlenir ve \(e_x(v)\) elde edilir.
2. Q evrenine uygulanan V testi puanları Y’nin puanlarına eşitlenir ve \(e_y(v)\) elde edilir.
3. V’ye dönüştürülmüş X formu puanları [\(e_x(v)\)], V’ye dönüştürülmüş Y puanlarına [\(e_y(v)\)], eşitlenerek \((e_y(x)=[e_y((e_x(v))])\) X formu Y formuna eşitlenmiş olur.
Bu yöntem, X, V ile ve V, Y ile ilişkili olduğunda X’in de Y ile ilişkili olduğu düşüncesine dayanmaktadır. V’nin X ve Y ile ilişkisi zayıf olursa elde edilen sonuçlar diğer yöntemlerden daha fazla hata içerir. Lord tarafından, zincirleme eşitleme için grupların random oluşturulması gerektiği belirtilmiştir (Angoff, 1971).
Grupların random seçilmemesi, sonuçların hangi evrene genelleneceği sorusunu doğurmaktadır (Kolen & Brennan, 2014). Holland ve Dorans (2006), zincirleme eşitleme için iki varsayım belirlemiş ve X ve Y formlarının parametrelerini elde etmiştir.
Varsayım1: TG üzerinde X’den V’ye elde edilen doğrusal eşitleme fonksiyonu \(TG=wP+(1-w)\), Q formundaki herhangi bir TG için aynıdır.
Varsayım2: TG üzerinde Y’den V’ye elde edilen doğrusal eşitleme fonksiyonu \(TG=wP+(1-w)Q\) formundaki herhangi bir TG için aynıdır.
Bu varsayımlarla iki evrenden elde edilen sonuçların değişmez olduğu kabul edilmiştir. Böylece X ve Y testlerinin ortalama ve standart sapmaları aşağıdaki gibi elde edilir:
\[\mu_{TG}(X)=\mu_{G1}(X)+\alpha_{VX}[\mu_{TG}(V)-\mu_{G1}(V)]\quad (6.29)\] \[\mu_{TG}(Y)=\mu_{G2}(Y)+\alpha_{VY}[\mu_{TG}(V)-\mu_{G2}(V)]\quad (6.30)\] \[\sigma^{2}_{TG}(X)=\sigma_{G1}(X)(\frac{\sigma_{TG}(V)}{ \sigma_{G1}(V)}\quad (6.31)\] \[\sigma^{2}_{TG}(Y)=\sigma_{G1}(Y)(\frac{\sigma_{TG}(V)}{ \sigma_{G2}(V)}\quad (6.32)\]
Elde edilen parametreler, doğrusal eşitleme denkleminde yerine konularak eşitleme yapılır.